第30章 你是要求簽名嗎[第1頁/共4頁]

而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，以是b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)

(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy

【定義二】曲線積分在內與途徑無關是指,對於內肆意一條閉曲線,恒有

(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)

公式這個公式能表白路程s是每個分歧速率時候行駛的時候和當前速率乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯絡了起來，也讓定積分的運算有了一個完美、令人對勁的體例。上麵就是該公式的證明全過程:對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為:

【定理】設開地區是一個單連通域,函數,在內具有一階持續偏導數,則在內曲線積分與途徑無關的充分需求前提是等式在內恒建立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的地區全數在內.從而在上恒建立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與途徑無關.再證需求性(采取反證法)假定在內等式不恒建立,那麼內起碼存在一點,使無妨設因為在內持續,在內存在一個覺得圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性子有這裡是的正向鴻溝曲線,是的麵積.這與內肆意閉曲線上的曲線積分為零的前提相沖突.故在內等式應恒建立.說明:定理所需求的兩個前提缺一不成.【反例】會商,此中是包抄原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這裡撤除原點外,在所圍成的地區內存在,持續,且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的複連通域內利用格林公式有

此中是的取正向的鴻溝曲線.

現在我們把積分區間的上限作為一個變量，如許我們就定義了一個新的函數:

注:若地區不滿足以上前提,即穿過地區內部且平行於座標軸的直線與鴻溝曲線的交點超越兩點時,可在地區內引進一條或幾條幫助曲線把它分劃成幾個部分地區,使得每個部分地區合適上述前提,仍可證明格林公式建立.格林公式相同了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡,是以其利用非常地遍及.

根基先容：在平麵地區上的二重積分也能夠通過沿地區的鴻溝曲線上的曲線積分來表示。

Φ(x)=x∫a*f(x)dx

公式(1)叫做格林公式.

易見,圖二所表示的地區是圖一所表示的地區的一種特彆環境,我們僅對圖一所表示的地區賜與證明便可.

微積分的根基公式共有四至公式:1.牛頓-萊布尼茨公式，又稱為微積分根基公式2.格林公式，把封閉的曲線積分化為地區內的二重積分，它是平麵向量場散度的二重積分3.高斯公式，把曲麵積分化為地區內的三重積分，它是平麵向量場散度的三重積分4.斯托克斯公式，與旋度有關。這四至公式構成了典範微積分學教程的骨乾。