科普向 關於希爾伯特空間[第1頁/共2頁]

――部分選自曹天元《量子物理史話》

讓我們擴大一下思惟：假定有一個四維空間中的點，我們又應當如何去描述它呢？明顯我們要利用含有4個變量的座標，比如（1,2,3,4），如果我們用的是直角座標體係，那麼這4個數字便代表該點在4個相互垂直的維度方向的投影，推行到n維，環境也是一樣。諸位大可不必費心在腦海中儘力構思4維或者11維空間是如安在4個乃至11個方向上都相互垂直的，究竟上這隻是我們在數學上構造的一個假想體係罷了。

假定一個體係由兩個粒子構成，那麼在每個時候t這個體係則必須由12個變量來描述了。但一樣，我們能夠用12維空間中的一個點來代替它。對於一些宏觀物體，比如一隻貓，它所包含的粒子可就太多了，假定有n個吧，不過這不是一個本質題目，我們仍然能夠用一個6n維相空間中的質點來描述它。如許一來，一隻貓在肆意一段期間內的活動實在都能夠等價為6n空間中一個點的活動（假定構成貓的粒子數量穩定）。我們如許做並不是吃飽了飯太閒的原因，而是因為在數學上，描述一個點的活動，哪怕是6n維空間中的一個點，也要比描述淺顯空間中的一隻貓來得便利。在典範物理中，對於如許一個代表了全部體係的相空間中的點，我們能夠用所謂的哈密頓方程去描述，並得出很多無益的結論。

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註釋裡，我們的配角王崎第二次利用的金手指，是來自地球的大數學家大衛・希爾伯特的希爾伯特空間。

我們所體貼的是：n維空間中的一個點能夠用n個變量來獨一描述，而反過來，n個變量也能夠用一個n維空間中的點來涵蓋。

這裡是道長的科普頻道！

因為不想再註釋水字數，以是貧道將這個數學體例的科普貼在這裡！有興趣的書友無妨出去一看哦~

每個讀過中學數學的朋友應當都建立過二維的笛卡兒平麵：畫一條x軸和一條與其垂直的y軸，並加上箭頭和刻度【也就是凡是所說的平麵直角座標係】。在如許一個平麵體係裡，每一個點都能夠用一個包含兩個變量的座標（x,y）來表示，比方（1,2），或者（4.3,5.4），這兩個數字彆離表示該點在x軸和y軸上的投影。當然，並不必然要利用直角座標體係，也能夠用極座標或者其他座標體係來描述一個點，但不管如何，對於2維平麵來講，用兩個數字便能夠獨一地指明一個點了。如果要描述三維空間中的一個點，那麼我們的座標裡就要有3個數字，比如（1,2,3），這3個數字彆離代表該點在3個相互垂直的維度方向的投影。

現在讓我們回到物理天下，我們如何去描述一個淺顯的粒子呢？在每一個時候t，它應當具有一個肯定的位置座標（q1,q2,q3），還具有一個肯定的動量p。動量也就是速率乘以質量，是一個向量，在每個維度方向都有分量，以是要描述動量p還得用3個數字：p1，p2和p3，彆離表示它在3個方向上的速率。總而言之，要完整描述一個物理質點在t時候的狀況，我們一共要用到6個變量。而我們在前麵已經看到了，這6個變量能夠用6維空間中的一個點來概括，以是用6維空間中的一個點，我們能夠描述1個淺顯物理粒子的典範行動。我們這個用心構造出來的高維空間就是體係的相空間。